Sistemas TérmicosPara comenzar, vamos a tomar como ejemplo un sistema térmico. Tal como se dijo en la introducción al tema, nos interesa el comportamiento de la variable, en este caso la temperatura, con respecto al tiempo. Como base, tenemos que la transferencia de calor se realiza, generalmente, por tres métodos:
- Conducción: El intercambio de energía se realiza por el movimiento cinético o el impacto directo de las moléculas.
- Convección: El intercambio de energía se relaciona con el movimiento relativo de un fluido respecto a otro.
- Radiación: El intercambio de energía se realiza por emisión
Así, que en un proceso térmico, estarán presentes, en mayor o menor magnitud, estas tres formas de transferencia de calor.
Como ejemplo práctico, supongamos que tenemos inmerso en un fluido un
elemento (sensorial), el cual posee ciertas características como lo son: Un área superficial
A, un calor específico
c y una masa
m. Al estar inmerso en el fluido, el sistema está en equilibrio térmico, es decir, ha alcanzado una temperatura uniforme y no hay transferencia de calor en ningún sentido. En este caso:
Supongamos ahora que la temperatura del fluido T
F aumenta (función paso):
Esta variación, hace que el equilibrio anterior se rompa y por ende nos hace pensar en que pasa dentro del sistema. Para simplificar las cosas, pensamos en lo mas básico que tiene un sistema térmico: el calor. De ahí podemos deducir que una ecuación que puede describir el equilibrio en el sistema es:
Calor de Entrada - Calor de Salida = Grado de cambio calórico en el sensor
Suponemos que el calor de salida del sistema es nulo, ya que es el sensor el que esta inmerso en el fluido, así que nos interesa conocer el intercambio calórico entre el sensor y el fluido.
El calor de entrada, está definido como:
En donde
h es el coeficiente de transferencia de calor entre el fluido y el sensor.
El aumento calórico del sensor está determinado por:
Nos interesa es el cambio en el tiempo del aumento calórico del sensor, es decir la tasa de aumento del contenido calórico del sensor, ésto estará dado por:
$ mc\frac{d}{dt}[T-T(0^{-})]
Definiendo:
$ \Delta T=T-T(0^{-})
y
$ \Delta T_{F}=T_{F}-T_{F}(0^{-})
Tenemos, reemplazando en la ecuación de equilibrio:
$ hA(\Delta T_{F}-\Delta T) = mc\frac{d}{dt}\Delta T
o, lo que es mas ordenado:
$ \frac{mc}{hA}\frac{d}{dt}\Delta T+\Delta T = \Delta T_{F}
Que es una ecuación diferencial de primer orden, de esas que son muy fáciles de resolver
Recordemos que
$ \Delta T
es la variable que nos indica el cambio de temperatura del nuestro sensor inmerso en un fluido. Si resolvemos la ecuación diferencial, obtendremos una función, a la cual se le da el nombre de
función de transferencia y es con esta función con la que se puede
predecir el comportamiento de nuestra variable en función del tiempo y en relación a un cambio de temperatura, en este caso
$ \Delta T_{F}
.
Para resolver la ecuación diferencial, usamos la
Transformada de Laplace, con la cual, se vuelve tan simple como lo es multiplicar y dividir. Tenemos entonces:
$ \tau[s\Delta T(s)-\Delta T(0^{-})]+\Delta T(s)=\Delta T_{F}(s)
En donde:
$ \tau=\frac{mc}{hA}
Recordemos, que en t=0
-, teniamos que la temperatura del elemento sensorial es igual a la temperatura del fluido, por lo tanto:
Reemplazando, hallamos la
función de transferencia, la cual relaciona la salida con la entrada de un sistema, en este caso nuestro elemento sensorial.
$ \frac{\Delta T(s)}{\Delta T_{F}(s)}=G(s)=\frac{1}{\tau s+1}
Si graficamos la función de solución de nuestra ecuación:
Vemos que ese numero
$ \tau
es muy importante, ya que justo cuando
$ t = \tau
, el valor de la función es el 63.2% del valor final. También nos da información acerca de lo confiable que es la medida respecto al tiempo, ya que, idealmente el sistema se estabilizará en un tiempo infinito, pero, como no podemos pasarnos toda una vida midiendo, basta con
$ t = 5\tau
para estar en un 90% del valor de estado estable.
Lo ideal, sería que todos los sistemas térmicos se comportaran de igual manera, pero siempre hay otras variables que afecten al sistema. Sin embargo éste modelo es aplicable a sistemas como los hornos, ya que describe muy bien el comportamiento dinámico de estos.
Cont...