duda sobre la DFT

[gera]

Buenas amigos!!!
Tengo una pequeña duda sobre la transformada de fourier en su version discreta. Estaba leyendo en esta pagina: http://mathworld.wolfram.com/DiscreteFourierTransform.html
y en varias mas al respecto. El tema es q no encuentro por que la DFT resulta simetrica respecto a N/2. Alguien me puede explicar esto por favor?
gracias!!!

[cerebro]

hola gera la verdad que lei tu pregunta anoche y no queria contestarla esperaba que otro lo hiciera para ver su explicacion pero ya que no hay otra, resulta ser que la gente de MATLAB decide representar la transformada discreta de fourier en frecuencias positivas, no se si observaste el proceso de obtencion de la transformada discreta a partir de las señales continuas(esta en todos los libros y es muy didactico...). Bueno, en realidad MATLAB tendria que dibujarnos el espectro desde [-N/2,N/2] pero decide dibujar desde [0, N] esto quiere decir correr hacia las frecuencias positivas la ventana para mostrar la transformada. Con esto no se pierde nada de informacion ni mucho menos, se puede entender facilmente cual es el significado matematico  del concepto de las frecuencias negativas. La manera mas facil de ver esto es dibujar las bases de la transformada por ejemplo en N=5 y N=95 si N/2=50 con algun plot, sabemos que las bases de la T de fourier son exponenciales complejas y en el tiempo estan representadas como helices, bueno justamente la orientacion de esas helices cambiara para frecuencias negativas o positivas con la misma frecuencia de giro. Tenia un .m donde estaba un poco explicado pero lo perdi me parece, si lo encuentro te lo paso.....
 No se si respondi a tu pregunta o meti mas ruido a la cosa, igualmente te aviso que MATLAB siempre tiene una forma particular de mostrar las transformadas un poco molesto en el caso de la FFT2 te muestra el infinito en el centro de la imagen  . Pero es una excelente herramienta para estas cosas lo indica su nombre no? Laboratorio de Matrices.
 saludos

[gera]

Muchas gracias por responder Cerebro!
Osea que, debido a una periodicidad de la DFT, en [N/2 , N] estamos viendo lo q corresponderia a [-N/2 , 0]? Creo q eso lo entendi. El tema ahora es por qué se vuelve periodica la DFT?
Saludos!

[cerebro]

Muchas gracias por responder Cerebro!
Osea que, debido a una periodicidad de la DFT, en [N/2 , N] estamos viendo lo q corresponderia a [-N/2 , 0]? Creo q eso lo entendi.

correcto estamos viendo la parte negativa del espectro en esa parte del espectro...

El tema ahora es por qué se vuelve periodica la DFT?
Saludos!

Pero miraste el proceso que te mencione? cuando muestreamos en el dominio de la señal que seria la multiplicacion de la señal por un tren de impulsos en el campo de la transformada corresponde a la convolucion de un tren de impulsos espaciados por fm (frecuencia de muestreo), si no pasara eso no tendriamos problema de aliasing y demas cosas. por supuesto, en este punto estas en la TFTD (transformada de fourier de tiempo discreto) la transformada discreta de fourier faltan algunos procesos mas que provocan rizado.

[jfh900]

Voy a intentar explicarlo mediante un ejemplo sencillo (de echo el mas sencillo). Veamos que ocurre cuando convolucionamos dos señales elementales en el dominio de la frecuencia o lo que es lo mismo cuando modulamos una señal mediante otra. Para ello partimos que es lo mismo utilizar funciones "seno" como "coseno" ya que es la misma función desplazada pi/2 => sen(x) => cos(x-pi/2):

cos(a+b)=sen(a)*sen(b)+cos(a)*cos(b)
cos(a-b)=sen(a)*sen(b)-cos(a)*cos(b)

Sumando:

cos(a+b)+cos(a-b)=2*(sen(a)*sen(b)) =>

sen(a)*sen(b)=(1/2)*[cos(a+b)+cos(a-b)]

Esto quiere decir que al convolucionar dos señales me aparecen dos señales nuevas una de frecuencia (a+b) y otra de frecuencia (a-b) y de amplitud la mitad de la portadora. Mediante un diagrama sería:



Si lo centramos sobre f0 vemos que el espectro que se obtiene es simétrico.

Este es le principio de la simetría de la transformada de fourier.

Un saludo

[Suky]

Gráficamente se puede ver mejor:
En el dominio del tiempo:

Lo mismo en el dominio de la frecuencia:

[gera]

Osea q es esa convolucion la q me produce dicha periodicidad en el dominio de la frecuencia? Me cuesta captar porq estoy un poco quemado de la cabeza jeje, pero ya voy entendiendo mejor.
Muchas gracias por sus explicaciones!!

[RICHI777]

Hola, solamente para decir un de los post mas interesantes que vi en los ultimos tiempos, felicitaciones a los involucrados!!!

Saludos !

[gera]

La verdad q es un tema muy interesante todo lo q es analisis y procesamiento de señales, y podriamos hablar paginas y paginas al respecto. Yo abri el hilo solo para sacarme esa duda, pero mas adelante podriamos hacer una pagina con algo de teoria, q les parece?

[cerebro]

yo solo trate de ayudar..... En cuanto a los graficos de suky a esa DFT le faltan 2 procesos uno es el producto de una ventana en el tiempo que ocaciona el ringing (se usan distintas ventanas a la brickwall para evitar esto por ejemplo la hamming) y el otro es el muestreo en las frecuencias. hay que recordar que la DFT tiene tanto el dominio temporal como el frecuencial discretos,y para destacar el analogo de la transformada de F de tiempo continuo en tiempo discreto es la TFTD y no la DFT como pensaria uno en primera instancia.
saludos

[Suky]

Exacto! Pero no quise que sea muy engorrosa la explicación. Esta teoría es extensa  ,  y más que nada era para ver porque es periódica.

[gera]

Leerlos es como escuchar una conversacion en portugues... por ahi hay cosas q me suenan, pero no llego a comprenderlos del todo jaja. Por lo q veo me falta bastante por aprender. Algo vi en la facu, pero evidentemente solo nos dieron la punta del iceberg. Sera cuestion de seguir investigando y leyendo.
Admiro la gente q sabe tanto como uds, espero algun dia llegar a tenerla asi de clara jaja
Saludos!!!

[Micro23]

El tema ahora es por qué se vuelve periodica la DFT

Hola Gente pensadora del dominio frecuencial  .
Como bien dicen uds al pensar una señal en tiempo discreto como una convolución de un tren de impulsos desplazados y nuestra señal mensaje, y dado que la propiedad de convolución dice algo así: "Convolucionar en el dominio temporal  correponde a multiplicar en el dominio frecuencial", o sea que si transformamos el tren de impulsos obtenemos otro tren de impulsos y si a este lo multiplicamos por la transformada de nuestra señal (recordando que multiplicar una señal por la delta de dirac es equivalente a desplazar esa señal al soporte de la delta), entonces nos queda cada espectro de la señal posicionado en los soportes de las deltas, lo cual hace que el espectro sea periodico.
Bueno de este espectro periodico viene tambien el porque de la frecuencia de Nyquist que debe ser mayor o igual a 2fx (siendo fx la maxima frecuencia de nuestra señal), para que no se solapen los espectros o sea que no alla aliasing....bueno ya me estoy llendo un poco asi que lo dejamos por ahi.
Saludos y espero no habersela complicado ahun mas  .