En la definición de H(xn) = SUM(xn z-n , n=0 to inf) no se están utilizando lo k negativos.
Para la antitransformada de H(z) = P(z)/Q(z) = X(z)
se hace Q(z)X(z) = P(z)E(z) siendo En un impulso (pues Z(en) = 1)
Luego, sin el mínimo pudor intelectual se reemplazan los X(z)z-i e E(z)z-j por xn-i y en-j
Ahí está la clave, de esa operación solamente se obtienen los xn originales si los xn y en son 0 para n<0
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Una manera de verlo es hacer la transformada Z de la recurrencia
a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 = b1 en-1
Siendo en un impulso unitario.
Supongamos que x-1 y x-2 sean distintos de 0 ¿Cual será la transformada Z de eso?
Transformando ambos miembros
Z(a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2) = Z(bn-1 en-1)
a0 Z(xn) + a1 Z(xn-1) + a2 Z(xn-2) = b1 Z(en-1)
a0 X(z) + a1 (X(z)z-1 + x-1) + a2 (X(z)z-2 + x-1 z-1 + x-2) = b1 z-1
(a0 + a1 z-1 + a2 z-2)X(z) + a1 x-1 + a2 x-1 z-1 + a2 x-2 = b1 z-1
==> X(z) = (b1 z-1 - (a1 x-1 + a2 x-1 z-1 + a2 x-2))/(a0 + a1 z-1 + a2 z-2)
Oh-oh nada que ver con la transformada original.
Luego, deben ser x-1 = x-2 = 0
Comentario: Es una situación similar a la que ocurre con las transformadas de Laplace de derivadas.
