Si es posible demostrarlo, matematicamente puede ser un poco mas complejo. Pero si.
Hago un ejemplo simple, si estamos aplicando una suma, por un lado tenemos 3 manzanas y por otro lado 2 manzanas, si las juntamos podrias contar desde 0 y tendrias 5 manzanas. Por lo tanto estarias demostrando que 2 + 3 es 5, lo que podrias preguntarte es que es la suma. Lo cual lo termina definiendo un matematico ( buscar Peano axioms, en realidad "formalizandolo" )
Respecto a que 2 numeros naturales dan un natural, podrias tratar de encontrar algun caso de que asi no fuera. Pero para la suma deberias conocer como esta definida, que es:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Donde la funcion S es una funcion mas basica, que se conoce como sucesor (incremento,etc), Por lo tanto en tu ejemplo:
3 + 2 = 3 + S(1) = S(3+1) = S(3+S(0)) = S(S(3+0)) = S(S(3)) = S(4) = 5
Mejor dicho, la funcion sucesor implica el incremento unitario, la adicion, es la repeticion del incremento anterior b veces.
Que la suma no sea natural implica encontrar algun numero a+b que no sea Natural. Debido a que una suma es un incremento unitario, y todos los elementos superiores a el numero que elijas son naturales, solo quedaria hacer 0 + 0, ya que 0 es el primer elemento y mas pequeño , y que el resultado es 0, y por los axiomas de los numeros naturales, el 0 es un natural. Es decir es imposible lograr que a+b < 0 cuando a,b pertenezcan a los naturales.
Distinto ocurre con la resta. Y finalmente el tema de los numeros impares y pares, creo que pasa mas por la demostracion de cuando un numero es par y cuando es impar ( es decir cuando es divisible por 2 o no). Podria presentar algo asi:
(I + I ) = Par?
pero
I + I = 2*I
Por lo tanto el resultado ahora posee un factor 2, y por lo tanto es divisible por 2 y finalmente par.
Algunas cosas demostrarla son "sencillas" pero otras por lo libros que he leido son un dolor de cabeza total.