Por si alguien tiene dudas de como se obtienen experimentalmente y a mano los parámetros de un sistema de primer orden al cual se le aplica un escalón. Acá va una pequeña descripción:
Si tenemos un sistema de la forma
\
Y(s)=\frac {K}{(s+a)}
La respuesta a un escalón de amplitud V es:
\
Y(s)=\frac {V.K}{s.(s+a)}
En tiempo seria:
\
y(t)=\frac{V.K}{a}.(1-exp{-at})\ para\ t>0
Para obtener la ganancia K del motor debemos obtener el valor de estado estacionario.
\
{K_{ss}=limite_{t \to{+}\infty}{\frac{V.K}{a}.(1-exp{-at})=\frac{V.K}{a}}
por lo tanto, la ganancia K va a ser el valor de estado estacionario obtenido experimentalmente (Kss) multiplicado por "a" que es el valor del polo( el polo es -a), y dividido por la amplitud del escalón.
\
K=\frac{a.K_{ss}}{V}
Para calcular el valor del polo, sabemos que la exponencial alcanza aprox. el 63% del valor de estado estacionario, en la constante de tiempo del sistema si es uno de primer orden.
por lo tanto:
\
\0.63.K_{ss}=K_{ss}.(1-exp{-a\tau})
0.63=1-exp{-a\tau}
\font{5pts}
a=-\frac{ln(-0.63+1)}{\tau}
a=\frac{1}{\tau}
Por lo tanto, si tenemos la respuesta experimental del sistema de primer orden ante un escalón, midiendo el tiempo que tarda la exponencial en llegar al 63% del valor de estado estacionario obtenemos el "tao" y por ende el valor del polo "a"(recordar que el polo está en -a). Midiendo el valor de estado estacionario, y conociendo la amplitud del escalón aplicado al sistema ya podemos calcular la ganancia "K" del motor
Con lo que se obtiene la función transferencia deseada.
Ahora veamos un ejemplo. Si tenemos una respuesta medida del sistema:
El valor de estado estacionario es 0.2. Por lo tanto el 63% es 0.126,
Buscamos en la gráfica el tiempo en que llega a 0.126 y obtenemos el tao=0.2. El polo está en -5
Si suponemos que le aplicamos al sistema un escalón de amplitud 1, la ganacia K=1
Entonces la función transferencia buscada es
\
Y(s)=\frac {1}{(s+5)}
Esta es la forma que uso para obtener estos parámetros
PD: Alguien sabe por qué aparece la h al principio de las fórmulas cuando se usa LaTeX
