Conceptos Matemáticos

[Nocturno]

A raíz de haberme embarcado en el curso del MIT me he dado cuenta de dos cosas:
- que aunque con mucho esfuerzo, soy capaz de seguir un curso en inglés
- que mi base de matemáticas es muy débil

Conceptualmente entiendo qué es calcular un "límite": a medida que la variable se va acercando a su destino, el valor de la fórmula se va acercando a la solución.

Y gracias a wxMaxima soy capaz de resolver algunos problemas con derivadas e integrales, pero en este caso no sé lo que estoy haciendo. No entiendo qué es una derivada o una integral ni cuándo debe aplicarse.

Sospecho que la derivada se utiliza para calcular la pendiente de una curva en un punto, y que la integral se usa para calcular el área que dibuja bajo sí entre dos puntos, pero ni estoy seguro que sea así, ni siquiera de que este sea el objetivo de usarlas.

¿Alguna explicación "conceptual" de estas operaciones?

Gracias

[fuente]

Basicamente es eso que comentas.
Con la derivada estás calculando la pendiente de la tangente a la curva en un punto.
La integral calcula el área que encierra la curva entre sus límites (los de la integral definida). Simplificando mucho, la integral es una suma de trozos muy pequeños (de ahí el dx, diferencial de x) de área de base dx y altura la de la curva.

Me he dado cuenta que buscando en google aparecen muchas páginas de matemáticas que son muy útiles para refrescar conceptos de este tipo.

[Algec]

Quizas lo entiendas asi, con el ejemplo de la velocidad y la aceleracion.

aceleracion es la derivada de la velocidad verdad?
LA derivada toma valores positivos o negativos si la velovidad varia, por lo que la derivada es la funcion que indica la cantidad de variacion de una variable, si la variable es fija no hay derivada, es decir, es cero.
Integral
Inversa de la derivada, asi que es un ejemplo algo mas grafico.
Si eres electronico mira un regulador PID y veras como funciona cada parte haciendo un pequeño regulador, al fin y al cabo la parte P es PROPORCIONAL. la I INTEGRAL y la D Derivada. Hazte uno con proteus y anula las partes integral y proporcional y veras como responde la dervivada y asi sucesivamente.

[Nocturno]

Muchas gracias, ya tengo mucho más claro lo de la derivada. Aún no mastico bien a la integral, pero ando más cerca.

[rivale]

La derivada es la razon de cambio de una variable respecto a otra, es decir que tanto se incrementa una variable en relacion a la otra en un punto especifico, esto es lo que te da la tangente en ese punto.

La integral lo podrias interpretar como la operacion contraria, es decir que tanto se acumula una variable entre unos limites definidos, por eso si es en 2D esta acumulacion es el area bajo la curva, pero en 3 dimenciones es un volumen

[jfh900]

Hola Manuel. La integral se puede interpretar de dos formas distintas: 1º La integral indefinida (sin limites) es la operación contraria a la derivada. Como la derivada de una función elimina las constantes que se suman, la integral ha de recuperar esas constantes, ya que la integral devuelve la familia de curvas o funciones primitivas y mediante la constante de integración seleccionamos de todas ellas cual es la original antes de derivas. 2º La integral representa o calcula el área bajo la curva integrada entre los límites expresados en una integral definida. Las aplicaciones serian por ejemplo en el 1º caso el cálculo del espacio recorrido por un movil conocida la velocidad del mismo (la derivada nos da la velocidad conocido el espacio por derivación y si conocemos la velocidad obtenemos el espacio por integración), en el 2º caso podemos obtener el área de cualquier figura conocida la función que la representa.

Un saludo

[Nocturno]

Bueno, creo que lo voy pillando. No lo veo tan claro como el límite, pero gracias por vuestro esfuerzo.

[Picuino]

La derivada te dice cuánto cambia una cosa cuando cambias otra (como decía rivale):
   ¿Cuanto cambia la posición de un coche cuando cambia el tiempo? -> el coche avanza 5km cuando el reloj cambia 1 hora = 5 km/h = velocidad
   ¿Cuanto cambian los precios de un año a otro? el año pasado una birra costaba 1 euro este año la birra cuesta 1.10 euros = 0.1 euros/año = 10% año = inflación
   ¿Cuanto cambia la resistencia cuando aumento un grado la temperatura?  cambia de 10k a 11k cuando cambio de 20ºC a 25ºC = 1k ohm/5ºC = 200 ohm/ ºC = sensibilidad de una NTC

De ahí el nombre ¿que variación de la resistencia se "deriva" de variar la temperatura?


La integral se define con el símbolo de la suma y significa eso mismo, sumar muchas partes.
La integral de una corriente con respecto al tiempo = sumo la corriente de ahora y de dentro de un segundo y de dentro de dos segundos, etc...  porque quiero obtener cuantos electrones han pasado en total
La integral de I respecto del tiempo es por eso la carga de electrones que han pasado en total.


Todo esto es aproximado y si me pilla un matemático me cuelga porque le he quitado toda la esencia a las derivadas e integrales.
La esencia de las derivadas es que las diferencias de las que te hablaba son infinitamente pequeñas. Yo lo he explicado con intervalos finitos, a lo bruto.

En cálculo numérico se utiliza esa aproximación de "intervalos pequeños" sin problema porque se puede demostrar matemáticamente con el teorema de Taylor que la aproximación es correcta con un pequeño error acotado.



Espero no haber liado más las cosas.

Un saludo.

[Nocturno]

Gracias

[Felixls]

Si entiendes el concepto de límite entonces ya entiendes el de integral, debido a que la integral es en definitiva un límite.

[Picuino]

Lo mejor es ver ejemplos prácticos, que hay muchos en electrónica.

A ver si alguien se anima a poner problemas reales en los que se necesiten las integrales y las derivadas.


Saludos.

[PalitroqueZ]

la integral viene a resolver el problema que se tenía en la antigüedad para hallar el área total bajo una curva cualquiera. (tomando como referencia el plano cartesiano respecto a un eje)

pero llegó alguien* y se le ocurrió que si dividía esa área en una cantidad infinitas de polígonos conocidos, y luego sumando el área de todos los polígonos que podían caber, obtenía una aproximación de la área total bajo estudio.


*mas específicamente dos eminencias matemáticas de la época

[rivale]

los maestros leibniz y Newton

[manutek]

Gracias muchachos yo también voy reaprendiendo los conceptos.....
Gracias
 

[Picuino]

Lo más difícil de entender (yo me lo creo pero no termino de entender el trasfondo) es que las integrales y las derivadas son operaciones complementarias, cada una es la inversa de la otra.


Saludos.