Hola, mas allá de la pila que uses, puedes crear un cargador a tu medida.
En tu caso, 3,7V, como no hay o no conozco reguladores de esa tensión, te puedes armar uno. Lo único que tienes que tener es más tensión en la entrada que la salida. El circuito se llama regulador serie.
La idea es la siguiente, si quieres 3,7V en la salida, el zener debe tener 0,7V menos que la salida, o sea en tu caso 3V. Ponle una resistencia de 100ohm, y un transistor que soporte una corriente de 5000mA.
Con eso cargas la bateria de una forma muy barata, desde un panel solar o desde lo que quieras.
Para mejorarlo, lo que tienes que hacer es poner algún circuito que corte la carga cuando la bataería esta llena. ¿cómo te das cuenta que esta llena? porque casi no circula corriente. ¿qué significa eso? pues que si esa corriente la haces pasar por una resistencia mínima, menos de un ohm, vas a tener una caida de tensión, bueno, lo que debes hacer es medir esa caida de tensión y comparla. Entonces cuando tengas una tensión X que sea la equivalente a que tu batería esa llena, desconectas el circuito.
Puedes hacerlo con un pic, con un comparador de tensión barato (ic) valen $2 que comande un relé o un transistor o lo que sea que uses como llave.
Si necesitas ayuda, sube algún circuito que creas que puede andar y lo vemos. Te aseguro que es muy fácil y económico.
Que andes bien.